魏尔斯特拉斯定理

时间:2023-10-16 15:15:01编辑:莆田seo君
概述

实数公理是在集合论发展的基础上,由希尔伯特于1899年首次提出的。后来他所提的公理系统在相容性与独立性方面得到了进一步改进,逐步演变为现在的公理系统。实数公理来源于实数理论的研究,实数理论包括对实数的结构,运算法则和拓扑性质等方面问题的研究。

实数集有多重结构,例如:

代数结构:从代数上看实数集是一个域。

序结构:实数集是一个有序集。

拓扑结构:实数集是一个拓扑空间,并且有诸如完备性,可分性,和列紧性等一些非常好的性质。

实数理论包含了深刻而丰富的信息,实数理论是极限论的基础,也是近代分析数学的最重要基础之一。

实数系的公理系统

设是一个集合,若它满足下列三组公理,则称为

实数系

,它的元素称为

实数

:

(I) 域公理

对任意,有中唯一的元素与惟一的元素分别与之对应,依次称为a,b的

,满足:

1.(交换律)对任意 ,有,。

2.(结合律)对任意 ,有, 。

3.(分配律)对任意 ,有。

4.(单位元)存在中两个不同的元素,记为0,1分别称为加法单位元与

乘法单位元

,使对所有的,有,。

5.(逆元)对每个 ,存在中惟一的元素,记为-a,称为加法逆元;对每个,存在中惟一的元素,记为,称为乘法逆元,使,。

(II) 序公理

(a)

在任意两个元素 之间存在一种关系,记为“>”,使对任意 ,满足:

1.(三歧性) ,,三种关系中必有一个且仅有一个成立。

2.(传递性)若且则。

3.(与运算的相容性)若,则;若,则。

(b)

在任意两个元素 之间存在一种关系,记为“≥”,使对任意 ,满足:

1.(反对称性)若且,那么。

2.(传递性)若且则。

3.(与运算的相容性)若,则;若且,则。

注:对于序公理a,b这两种描述是等价的。因为我们可以通过其中一个符号及其性质来定义另一个符号。

(III)(1)

阿基米德公理

也称阿基米德性质,它并不是严格意义上的公理,可以由连续性公理证明。在欧几里得的几何书中,它仅被描述为一个命题

)。

阿基米德公理:对任意 , 存在正整数n,使。

(III)(2)

完备性公理

R中的任何基本列都在R中收敛。

称满足公理组

I

的集为

;满足公理组

I

II

的集为

有序域

;满足公理组

I

II

(III)(1)

的集为阿基米德

有序域

;满足公理组

I

III

的集为

完备阿基米德有序域

完备有序域

。这样,实数系就是完备阿基米德有序域。所有有理数的集合Q就是阿基米德有序域,但它不满足完备性公理。根据域公理,可以定义实数的减法和除法,并证明四则运算的所有性质。序公理的1与2表明关系“>”是R的全序。

用域公理和序公理可以定义正数、负数、不等式、绝对值,并证明它们具有通常的运算性质。加上阿基米德公理与完备性公理,可以证明实数的其他性质以及幂、方根、对数等的存在性。实数公理有多种不同的提法,常见的另一种提法是把公理组

III

换成

(III)’

连续性公理(戴德金公理)

若A,B是R的非空子集且 ,又对任意的 及任意的 恒有,则A有最大元或B有最小元,即存在 , 。

这里把戴德金定理用作连续性公理。另一个常用作连续性公理的确界原理。公理组

I

III

与公理组

I

+

II

+

(III)’

是等价的,(注意不是

III(III)’

)。完备性公理可以换成闭区间套定理的形式。类似地,单调收敛定理,聚点原理等也可用作连续性公理。公理组

II

也有其他提法。用公理定义了实数系

R

后,可以继续定义R的特殊元素正整数、整数等。例如,由数1生成的子加群的元素称为

整数

;由数1生成的子域的元素称为

有理数

但这里有一个很微妙的问题,即与连续性公理等价的7个实数系的基本定理(确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则)中,并不是每一个都能推出阿基米德公理的。具体来说,柯西收敛准则和闭区间套定理就是如此,其他5个基本定理则可以推出阿基米德公理。因此,以连续性公理作为实数公理之一时,阿基米德公理可以去掉,这时连续性和完备性是统一的,所以连续性公理也可以称为完备性公理;而以柯西收敛准则或闭区间套定理代替连续性公理时,连续性和完备性是分离的,必须补充阿基米德公理,这时柯西收敛准则或比区间套定理就只能称为完备性公理,是为了公理的完备而存在的。

满足这些公理的任何集合R,都可被认为是实数集的具体实现,或称为

实数模型

。需要说明的是,实数公理下的系统是相容的,范畴的。

从另外一个角度来想,希尔伯特实数公理是自上而下建立数系的,用公理规定实数,然后再定义整数、正整数直至自然数。那么反过来行不行呢,实数的这些公理能不能从其他的假设中推出来呢,事实上,这就是实数的构造理论所做的事了,在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》的绪论中,就展示了用戴德金分割的方法从有理数定义无理数的过程,从而建立了实数,而有理数是依赖于先建立整数的,整数又是依赖于先建立自然数的,当集合论发展起来之后,自然数又依靠集合来定义了(即皮亚诺公理),集合是最原始的概念,无法再定义的概念,整个自下而上的过程可以参见兰道的《分析基础》,从此,整个数学的基础就建立在了集合论之上,数学再也不能排除掉集合这一现代概念了,当英国数学家罗素发现了集合中的罗素悖论之后,引发了第三次数学危机,促使集合论又不得不加以改进,致使朴素集合论发展为近代集合论,现代的数学基础终于建立在了公理集合论的基础之上(ZFC公理系统)。

实数模型

一、戴德金分割(分划)模型

二、柯西数列模型

三、魏尔斯特拉斯十进制小数模型

四、

康托尔

闭区间套模型

(可归入第三个模型)

实数的基本定理

实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理,这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则,共7个定理,它们彼此等价,以不同的形式刻画了实数的连续性,它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具,在微积分学的各个定理中处于基础的地位。7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立,只能说明它们同时成立或同时不成立,这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立,从而说明它们同时都成立,引进方式主要是承认戴德金公理,然后证明这7个基本定理与之等价,以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现,但这7个定理是教学中常见的基本定理。

一、上(下)

确界原理

非空有上(下)界数集必有上(下)确界。

二、单调有界定理

单调有界数列必有极限。具体来说:

单调增(减)有上(下)界数列必收敛。

三、闭区间套定理(柯西-康托尔定理)

对于任何闭区间套,必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零,则该点是唯一公共点。

四、有限覆盖定理(博雷尔-勒贝格定理,海涅-波雷尔定理)

闭区间上的任意开覆盖,必有有限子覆盖。或者说:闭区间上的任意一个开覆盖,必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。

五、极限点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理)

有界无限点集必有聚点。或者说:每个无穷有界集至少有一个极限点。

六、有界闭区间的序列紧性(致密性定理)

有界数列必有收敛子列。

七、完备性(柯西收敛准则)

数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说:柯西列必收敛,收敛数列必为柯西列。

注:只有充要条件的命题才能称之为“准则”,否则不能称为“准则”。

以上7个命题称为

实数系的基本定理

。实数系的7个基本定理以不同形式刻画了实数的连续性,它们彼此等价。在证明中,可采用单循环证明的方式证明它们的等价性。它们之间等价性的证明可以参看《数学分析札记》。

在闭区间上连续函数的性质的证明中,实数系的基本定理是非常重要的工具,但是它们之间的等价性不能说明它们都成立,必须要有更基本的定理来证明其中之一成立,从而以上的命题都成立,进过反复仔细琢磨,问题就归结为实数的引入问题了。如在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》 ? 中,可以用实数的连续性来推出确界定理,在华东师范大学数学系编的《数学分析(上册)》(第四版)中就通过实数十进制小数形式推出确界定理,这也说明了建立实数系的严格定义的重要性。从逻辑上,应该是先建立了实数,有了实数的定义之后,再得出实数系的基本定理,从而能够在实数域上建立起严格的极限理论,最后得到严格的微积分理论,但数学历史的发展恰恰相反,最先产生的是微积分理论,而严格的极限理论是在19世纪初才开始建立的,实数系的基本定理已经基本形成了之后,19世纪末实数理论才诞生,这时分析的算数化运动才大致完成。

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