二阶微分方程
二阶微分方程如下：对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，通常就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。二阶线性微分方程形如 y’’+ P(x) y’+Q(x) y = f(x)，是二阶微分方程 y’’=F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时，称为齐次的，否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度，利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法：1、f(x) = e^ax^Pm(x)型。2、f(x) = e^ax^[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型。要点1、和一阶微分方程对应，掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系。2、牢记二级结论，对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢。3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的，能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。4、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)。当y1(x)和y2(x)是线性无关的，y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意，两个函数只要不是倍数关系，就是线性无关的。5、二阶非齐次方程的通解 Y + y*。可以看出，二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题：一是齐次方程的通解求法；二是非齐次方程的特解求法。其中，对常系数微分方程有通解公式，对一般的非齐次方程有常数变易求解方法。
二阶微分方程求解
方法：1.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解 两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x 两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y”+py’+qy=f(x) 先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=Pm(x)eλx型 令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数 2.2.②f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型 令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛l,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数例题：1. y"=f（x）型方程 （方程的右端不显含 y,yy'=fv"dx=ff(x)dx+C，y=fydx=fff(x)dx+Cx+C，即y= f(x)dxkx+Cx+C例1解方程 y"=xe*.解 y'= xe dx=e x-e +C，y= (xe -e*+C)=xe -e*-e +Cx+C.2.y”=f（x，y'）型方程 （方程右端不显含 y)令y'=p(x)，y”=12，代入原方程，得dpdx=f（x，p)，关于p的一阶微分方程，设其通解为 p=9(x，C1)， 又p=dydx=（x，C)，可分离变量的一阶微分 方程，积分得通解 y= (x,C)dx+C，
二阶微分方程的3种通解公式
二阶微分方程的3种通解公式如下：第一种：两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）＋C2e^（r2x）。第二种：两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。第三种：一对共轭复根：r1=α＋iβ，r2=α－iβ：y=e^（αx）＊（C1cosβx+C2sinβx）。举例说明求微分方程2y''+y'-y=0的通解。先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解，特征方程为2r²+r-1=0，(2r-1)(r+1)=0，r=1/2或r=-1，故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)。因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=Ae^x，则y*'=y*''=Ae^x，代入原方程得，2Ae^x=2e^x，A=1，故y*=e^x。所以原方程的通解为y=Y+y*，即y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)+e^x。
二阶微分方程的3种通解公式是什么？
第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关；通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。相关内容：微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
二阶微分方程的求解
二阶微分方程的通解公式有以下：第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0通解。
二阶微分方程的通解公式
二阶微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的。若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。举例求微分方程：y"-4y'+3y=(x^2-1)e^(3x)的通解。第一步，先求特征方程r^2-4r+3=0的根，解得r1=3, r2=1。因此齐次方程的通解是Y=C1e^(3x)+C2e^x。又λ=3是特征方程的一个根，因此设非齐次方程的特解y*=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x)，代入原微分方程，可得6ax+2b+2(3ax^2+2bx+c)=x^2-1. 化简得6ax^2+(6a+4b)x+(2b+2c)=x^2-1，因此a=1/6, b=-1/4, c=-1/4。原微分方程的通解为：y=C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x)。
二阶微分方程的通解公式是什么？
二阶微分方程的通解公式有以下：第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。相关信息：如果y0是非齐次微分方程（1）的一个特解，而y*是对应的齐次微分方程（2）的通解，则y=y0+y*是方程（1）的通解。对于比较简单的情形，可以用观察法找特解。但对于比较复杂的情形就不太容易了。为此，下面对于f(x)的几种常见形式，以表2列出找其特解的方法（待定系数法）（表2中Pm(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm为已知的多项式）。
二阶微分方程的通解公式是什么?
解：齐次方程y''-2y'-3y=0的特征方程是λ-2λ-3=0，解得：λ1=3，λ2=-1。所以齐次方程得通解是：y=ae^(3x)+be^(-x)。只需求其特解y*。根据右边4e^x，可设y*=ke^x，代入左边得：ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x。解得k=-1。特征根方程r^2+r-2=0r=2，-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)。然后找特解待定系数，因为右端项为x^2猜测：x^2-2ax^2+(2a-2b)x+2a+b-2c=x^2-2a=12a-2b=02a+b-2c=0a=-1/2。可降阶方程在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。y''=f(x)型方程特点：右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。例1 求方程y''=e2x-cosx的通解。
二阶微分方程的3种通解公式是什么？
第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。相关信息：如果y0是非齐次微分方程（1）的一个特解，而y*是对应的齐次微分方程（2）的通解，则y=y0+y*是方程（1）的通解。对于比较简单的情形，可以用观察法找特解。但对于比较复杂的情形就不太容易了。为此，下面对于f(x)的几种常见形式，以表2列出找其特解的方法（待定系数法）（表2中Pm(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm为已知的多项式）。
二阶线性微分方程是什么?
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。二阶微分方程的通解公式有以下：第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关，通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。
二阶线性微分方程是什么？
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简称为二阶线性方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次方程。前者主要采用特征方程求解，也比较简单，记忆三个公式即可。后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解，这里也就是非齐次方程的特解不好求。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。微分方程数学描述：许多物理或是化学的基本定律都可以写成微分方程的形式。在生物学及经济学中，微分方程用来作为复杂系统的数学模型。微分方程的数学理论最早是和方程对应的科学领域一起出现，而微分方程的解就可以用在该领域中。不过有时二个截然不同的科学领域会形成相同的微分方程，此时微分方程对应的数学理论可以看到不同现象后面一致的原则。
