三角形ABC中,BD.CE分别是角ABC.角ACB的平分线,EC=BD,求证：AB=AC
这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理.1840年,莱默斯[C.L.Lehmus]在给斯图姆[C.Sturm]的一封信中提出的,他请求给出一个纯几何的证明,斯图姆向许多数学家提到此问题.首先回答的是瑞士大几何学家斯坦纳[J.Steiner].后来该定理就以斯坦纳--莱默斯定理定理而闻名于世.在1965年的一篇报道中提到该定理约有60多种证法.下面给出两种证法.
己知 在△ABC中,BE,CF是∠B,∠C的平分线,BE=CF.求证:AB=AC.
证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC,这样∠ACB>∠ABC,从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF.
在△BCF和△CBE中,因为BC=BC, BE=CF,∠BCF>∠CBE.
所以 BF>CE. (1)
作平行四边形BEGF,则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF,连CG,
故△FCG为等腰三角形,所以∠FCG=∠FGC.
因为∠FCE>∠FGE,所以∠ECGEG=BF. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的,故假设AB≠AC不成立,于是必有AB=AC.
证法二 在△ABC中,假设∠B≥∠C,则可在CF上取一点F',使∠F'BE=∠ECF',这有CF≥CF'.
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中,由A'B≥A'C,得:
∠A'CB≥∠A'BC,即∠C≥(∠B+∠C)/2,故∠B≤∠C.
再由假设∠B≥∠C,即有∠B=∠C.
所以△ABC为等腰三角形.
三角形ABC中,AB=AC,
1、
∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠B＝（180-∠A）/2＝（180-50）/2＝65
∵CD平分∠ACB
∴∠BCD＝∠ACB/2＝65/2＝32.5°
2、
∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠B＝（180-∠A）/2＝（180-50）/2＝65
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B＝90
∴∠BCD＝90-∠B＝90-65＝25°
3、
∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠B＝（180-∠A）/2＝（180-50）/2＝65
∵CD＝AD
∴∠ACD＝∠A＝50
∴∠BCD＝∠ACB-∠ACD＝65-50＝15°
4、
∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠B＝（180-∠A）/2＝（180-50）/2＝65
∵CD＝CB
∴∠CDB＝∠B＝65
∴∠BCD＝180-∠B-∠CDB＝180-65-65＝50°
在三角形abc中，ab=ac,db为三角形abc的中线，且bd将三角形abc周长分为12cm与15
解答过程如下：假设AD=x∵AB＝AC，DB为三角形ABC的中线；∴DC=x，AB=2x；∵BD将三角形ABC的周长分为12和15两部分；∴AB+AD=2x+x=15或者AB+AD=2x+x=12。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
在三角形abc中，ab=ac,db为三角形abc的中线，且bd将三角形abc周长分为12cm与15
AB=10，AC=10，BC=7或者AB=8，AC=8，BC=11。解答过程如下：（1）假设AD=x，∵AB＝AC，DB为三角形ABC的中线；∴DC=x，AB=2x；∵BD将三角形ABC的周长分为12和15两部分；∴AB+AD=2x+x=15或者AB+AD=2x+x=12；解方程式可以得出x=5或者x=4。（2）当x=5时：AB=10，AC=10，BC=7。（3）当x=4时：AB=8，AC=8，BC=11。等腰三角形的判定：（1）在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。（2）在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。（2）等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。（3）等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
如图，在三角形ABC中，AB=AC,点D在BC边上，且AD=BD,AC=CD,求∠B.
解：在△ABC中AB=AC，所以∠B=∠C；
在△ABD中AD=BD，所以∠B=∠BAD；所以∠B=∠C=∠BAD；
又因为∠ADC是△ABD外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B,
在△ACD中AC=CD，所以∠ADC=∠CAD；
又因为∠ADC=2∠B，所以∠CAD=2∠B；
且∠B=∠BAD，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+2∠B=3∠B；
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180度，
所以∠B+∠B+3∠B=180度，所以5∠B=180度，所以∠B=36度。
在三角形ABC中,AB=AC,AC上中线BD把三角形ABC周长分为12厘米和15厘米两部分,求三角形各边长?
“AC上的中线BD把三角形的周长分为12厘米和15厘米两部分”由此话得知该三角形的周长为27cm，AD=CD。由题意得：该三角形为等腰三角形。1.三角形的底比腰大（15-12）=3cm则三角形的腰长：AB=AC=（27-3）/3=8cm则三角形的底长：BC=8+3=11cm2.三角形的腰比底大（15-12）cm。则三角形的腰长：AB=AC=（27+3）/3=10cm则三角形的底长：BC=10-3=7cm。三角形角的性质：1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。6、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
