常微分方程
这是个非齐次的二阶常微分方程，所以， 先考虑他的齐次形式
我就假设是x对t求导了啊，那这个方程的齐次形式就可以写成
x''+Ax=0 借这个方程的时候 设x=exp(mt) 就可以得到 x'=m*exp(mt) x''=(m^2)*exp(mt) 然后带回原方程就可以得到方程 m^2+A=0 然后你就可以得到 m1=+(-A)^(1/2)，m2= -(-A)^(1/2)这个时候还要分类讨论，
如果你A小于零， 那么 -A 就大于零 ，那么你上面方程的解就是两个的实根，这个时候你这个其次形式的方程的解的形式就是 yc=C1* exp(m1*x)+C2*exp(m2*x) C1 C2 都是常数
如果你A大于零（我也不知道简谐振动里允不允许有复数形式。。。。） ，A大于零就是m为两个复根。那你就把m写成复数的形式，比如说m1=+i*A^(1/2) ,m2=-1*A(1/2)
那你的齐次形式的方程的解就是yc=B1*cos（A^(1/2)+B2*sin (A^(1/2)) B1 B2也都是常数
这个时候你再来考虑非齐次的形式 也就是 x''+Ax=B 因为你的B是个常数，所以用待定系数法做就是设 非齐次方程的特殊解为 yp=K0+ K1x然后yp‘=K1 yp''=0 代回原方程 就解出K1=0，K0= B/A
然后这个非齐次方程的通解就是你见面求出来的那个yc加上这个yp
即y=yc+yp
目测是这样了。。。。。希望是对的。。。。
常微分方程
这是个非齐次的二阶常微分方程，所以，
先考虑他的齐次形式
我就假设是x对t求导了啊，那这个方程的齐次形式就可以写成
x''+ax=0
借这个方程的时候
设x=exp(mt)
就可以得到
x'=m*exp(mt)
x''=(m^2)*exp(mt)
然后带回原方程就可以得到方程
m^2+a=0
然后你就可以得到
m1=+(-a)^(1/2)，m2=
-(-a)^(1/2)这个时候还要分类讨论，
如果你a小于零，
那么
-a
就大于零
，那么你上面方程的解就是两个的实根，这个时候你这个其次形式的方程的解的形式就是
yc=c1*
exp(m1*x)+c2*exp(m2*x)
c1
c2
都是常数
如果你a大于零（我也不知道简谐振动里允不允许有复数形式。。。。）
，a大于零就是m为两个复根。那你就把m写成复数的形式，比如说m1=+i*a^(1/2)
,m2=-1*a(1/2)
那你的齐次形式的方程的解就是yc=b1*cos（a^(1/2)+b2*sin
(a^(1/2))
b1
b2也都是常数
这个时候你再来考虑非齐次的形式
也就是
x''+ax=b
因为你的b是个常数，所以用待定系数法做就是设
非齐次方程的特殊解为
yp=k0+
k1x然后yp‘=k1
yp''=0
代回原方程
就解出k1=0，k0=
b/a
然后这个非齐次方程的通解就是你见面求出来的那个yc加上这个yp
即y=yc+yp
目测是这样了。。。。。希望是对的。。。。
常微分方程的定义
常微分方程，学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。
微分方程和常微分方程有什么区别
两者不存在区别之分，因为两者是包含与被包含的关系。微分方程包括常微分方程。微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。含有未知函数的导数，如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。扩展资料微分方程的应用：是重要工具之一。流体力学、超导技术、量子力学、数理金融中的稳定性分析、材料科学、模式识别、信号(图像)处理 、工业控制、输配电、遥感测控、传染病分析、天气预报等领域都需要它。 微分方程的解：偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，维数是很小的。高阶方程中，线性方程仍可以用叠加原理求解，即n阶齐次方程的通解是它的n个独立特解的线性组合，其系数是任意常数。非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，这个特解并且可以用常数变易法通过求积分求得。求齐次方程的特解，当系数是常数时可归结为求一代数方程的根，这个代数方程的次数则是原方程的阶数;当系数是变数时，则只有二种极特殊的情况（欧拉方程、拉普拉斯方程）可以求得。至于非线性高阶方程则除了少数几种可降阶情形(如方程(1)就是这几种情形都有的一个方程)之外，可以求得通解的为数就更小了。n阶方程也可以化为一阶方程组（未知函数的个数和方程的个数都等于 n）早已为人们所知，并且在此后起着一定作用，但对通解的寻求仍无济于事。参考资料来源：百度百科-微分方程
常微分方程概念来看看吧
1、凡含有参数，未知函数和未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶，定义式如下：F(x,y,y￠,....,y(n))=0
2、任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解)，当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。
3、一般地说，n阶微分方程的解含有n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。
4、如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。
常微分方程之一阶微分方程（基础知识篇）
一,可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程 其中 f(x) g(y)都是连续函数
（下方变形）
（下方变形）
二,齐次微分方程
如果一阶微分方程可化为 的形式，则称该方程为齐次微分方程
三,一阶线性微分方程
（1）一阶线性微分方程的基本概念方程 ---称为 一阶线性微分方程
又称一阶非齐次线性微分方程
(2) 一阶齐次线性微分方程
什么是常微分方程？
例如二阶常系数齐次线性方程的形式为：y''+py'+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]；2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]；3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β)，通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。常微分方程的定义：定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。
常微分方程的解是什么？
微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：其解为：其中C是待定常数；如果知道则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。二阶常系数齐次常微分方程对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解对于方程：可知其通解：其特征方程：根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解一般的通解形式为：若则有若则有在共轭复数根的情况下：r=α±βi扩展资料一阶微分方程的普遍形式一般形式：F（x,y,y'）=0标准形式：y'=f(x,y)主要的一阶微分方程的具体形式约束条件微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。唯一性存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理 [4] 则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。参考资料来源：百度百科-常微分方程参考资料来源：百度百科-微分方程
常微分方程的解法
常微分方程的解法：常微分方程数值解法(numerical methods for ordinary differential equations)计算数学的一个分支。是解常微分方程各类定解问题的数值方法。现有的解析方法只能用于求解一些特殊类型的定解问题，实用上许多很有价值的常微分方程的解不能用初等函数来表示，常常需要求其数值解。所谓数值解，是指在求解区间内一系列离散点处给出真解的近似值。这就促成了数值方法的产生与发展。作为数值分析的基础内容，常微分方程数值解法的研究已发展得相当成熟，理论上也颇为完善，各类有实用价值的算法已经建立，并已形成计算机软件。它处理问题的思路与方法常可用于偏微分方程的数值求解。主要研究以下三类定解问题的数值解法：初值问题、两点边值问题与特征值问题。初值问题的数值解法应用广泛，是常微分方程数值解法的主要内容。在这方面有突出贡献的学者当推达赫奎斯特（Dahlquist，G.）、巴特赫尔（Butcher，J.C.）及吉尔（Gear，C.W.）等人。两点边值问题及特征值问题的研究相对较为薄弱，其中凯勒尔（Keller，H.B.）的工作影响较大。
常微分方程的基本概念
(本笔记使用的书是丁同仁和李承治的《常微分方程教程》) 学习常微分方程之前,首先说明几个很常见的概念. 微分方程 指含有函数 和函数导数 的方程.如果未知函数是单变量函数,那么称之为 常微分方程(ODE) ;如果未知函数是多元函数,那么称之为 偏微分方程(PDE) .对于一个常微分方程,如果出现的最高求导次数项为 ,则称该方程为 阶 的;如果出现的最高次幂项为k次幂项,则称该方程为 次 的. 实际上我们研究的主要问题就是ODE解的存在性和求解问题, 至于为什么一个微分方程的通解有 个任意常数,我们暂时无法解决,但一个含有 个任意常数的函数是否对应一个n阶微分方程的解呢? 如果通解的常数都固定下来,那么就称此时的 为一个 特解 .固定任意常数的方法可以是给出的各阶导数的函数值,这样的问题我们成为 初值问题 ,也称作 .初值条件的一般形式是 实际上我们可以在初值条件 的一个邻域内类似 Ex 1 地确定通解中的所有任意常数. 以一阶微分方程为例 设它的通解是 ,显然对于I内的一个点即使我们不知道 的表达式我们仍然知道在这一点处 的斜率是 ,我们称经过 斜率为f(x_0,y_0)的一条 小线段 为在 的 线素 ,记作 ,I及其上所有线素称作 线素场 .无论 是确定值还是无穷大,我们都能得到确定的线素,如果 点的值是不定式,那么我们称这点为线素场的 奇异点 . 为了作出微分方程的线素场,我们常常用 来近似作图,这条曲线上所有线素的斜率相同,因此这条曲线被称为线素场的 等斜线 .
常微分方程的特点
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。
怎样求常微分方程的解？
微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：dy/dx=sin x，其解为： y=-cos x+C，其中C是待定常数；如果知道y=f(π)=2，则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。扩展资料：以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。
常微分方程的解是什么样的？
微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：其解为：其中C是待定常数；如果知道则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。二阶常系数齐次常微分方程对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解对于方程：可知其通解：其特征方程：根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解一般的通解形式为：若则有若则有在共轭复数根的情况下：r=α±βi扩展资料一阶微分方程的普遍形式一般形式：F（x,y,y'）=0标准形式：y'=f(x,y)主要的一阶微分方程的具体形式约束条件微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。唯一性存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理 [4] 则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。参考资料来源：百度百科-常微分方程参考资料来源：百度百科-微分方程
常微分方程解法
一般形式：F（x,y,y'）=0。标准形式：y'=f(x,y) 1.可分离变量的一阶微分方程2.齐次方程。3.一阶线性微分方程。4.伯努利微分方程。5.全微分方程。如果我们依照阶数、常系数与变系数、齐次与非齐次、线性与非线性来进行分类。确实会让分类更为严谨，判断题型类别时候更加得心应手，但这有时候并不会让你更快的想到解题方法。比如说： 方程 ，按方程类型分类，应为 一阶变系数非齐次非线性方程 。这样描述你可能并不知道应该怎么求解，但是如果说它是可分离变量的微分方程，你马上就知道应该怎么做了。
常微分方程怎么解？
计算过程如下：dx/x=dy/y总之是可以把x和y分开并且x与ds放到一边，y与dy放到等号另一边。这种微分方程是可以直接积分求解的，∫dx/x = ∫dy/y => ln|x| = ln|y| + lnC，C是任意常数。永远要知道的是，微分方程有多少阶，就有多少个任意常数。一阶微分方程只有一个任意常数C。扩展资料：常微分方程的特点常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。通常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。参考资料来源：百度百科--微分方程参考资料来源：百度百科--原函数
