第一象限

时间:2023-11-08 20:38:31编辑:莆田seo君
发展历程

坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。

传说:

平面直角坐标系

有一天,笛卡尔(Descartes 1596—1650,法国哲学家、数学家、物理学家)生病卧床,但他头脑一直没有休息,在反复思考一个问题:几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方程呢?这里,关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛,拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”,使笛卡尔思路豁然开朗。他想,可以把蜘蛛看做一个点,它在屋子里可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条直线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三根数轴,那么空间中任意一点的位置,不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗?反过来,任意给一组三个有顺序的数,例如3、2、1,也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样,用一组数(a, b)可以表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系。

坐标系

在平面“二维”内画两条互相垂直,并且有公共原点的数轴,简称直角坐标系。平书局面直角坐标系有两个坐标轴,其中横轴为x轴(x-axis),取向右方向为正方向;纵轴为y轴(y-axis),取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面,两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。x轴y轴将坐标平面分成了四个象限(quadrant),右上方的部分叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点及原点不在任何一个象限内。一般情况下,x轴y轴取相同的单位长

平面直角坐标系

度,但在特殊的情况下,也可以取不同的单位长度。点的坐标

在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序数对(即点的坐标 coordinates)与它对应;反过来,对于任意一个有序数对,都有平面上唯一的一点与它对应。

对于平面内任意一点C,过点C分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标,有序数对(ordered pair)(a,b)叫做点C的坐标。一个点在不同的象限或坐标轴上,点的坐标不一样。

特殊位置的点的坐标的特点:

1.x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。

2.在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴(两点的横坐标不为零);如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴(两点的纵坐标不为零)。

3.点到轴及原点的距离:点到x轴的距离为|y|;点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。

象限

第一象限

还可以写成

Ⅰ,第二象限

还可以写成

Ⅱ,第三象限

还可以写成

Ⅲ,第四象限

也可以写成

.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

对称点

1.关于x轴成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。(横同纵反)

2.关于y轴成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。(横反纵同)

3.关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反)

点的符号

横坐标 纵坐标

第一象限:(+,+)正正

第二象限:(-,+)负正

第三象限:(-,-)负负

第四象限:(+, -)正负

x轴正半轴:(+,0)

x轴负半轴:(-,0)

y轴正半轴:(0,+)

y轴负半轴: (0,-)

x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。

原点:(0,0)

注:以数对形式(x,y)表示的坐标系中的点。如(2,-4),“2”是x轴坐标,“-4”是y轴坐标。

1.第一象限中的点的横坐标(x)大于0,纵坐标(y)大于0。

2.第二象限中的点的横坐标(x)小于0,纵坐标(y)大于0。

3.第三象限中的点的横坐标(x)小于0,纵坐标(y)小于0。

4.第四象限中的点的横坐标(x)大于0,纵坐标(y)小于0。

各象限角平分线的点的特征:

一、三象限角平分线上的点p (a,b)横纵坐标相等,即;

二、四象限角平分线上的点p (a,b)横纵坐标相反,即或。性质

1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

2. 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。

3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

4.一点上下平移,横坐标不变,即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。

平面直角坐标系

5.y轴上的点,横坐标都为0。

6.x轴上的点,纵坐标都为0。

7.坐标轴上的点不属于任何象限。

8.一个关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。

9.一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。

10.与x轴做轴对称变换时,x不变,y变为相反数。

11.与y轴做轴对称变换时,y不变,x变为相反数。

12.与原点做轴对称变换时,y与x都变为相反数。

高斯直角坐标

为了方便工程的规划、设计与施工,我们需要把测区投影到平面上来,使测量计算和绘图更加方便。而地理坐标是球面坐标,当测区范围较大时,要建平面坐标系就不能忽略地球曲率的影响。把地球上的点位化算到平面上,称为地图投影。地图投影的方法有很多,我国采用的是高斯——克吕格投影(又称高斯正形投影),简称高斯投影。它是由德国数学家高斯提出的,由克吕格改进的一种分带投影方法。它成功解决了将椭球面转换为平面的问题。

投影方法

高斯投影的方法是将地球按经线划分为带,称为投影带。投影是从首子午线开始的,分6°带和3°两种。每隔6°划分一带的叫6°带,每隔3°划分一带的叫3°带。我国领土位于东经72°∽136°之间,共包括了11个6°带,即13∽23带;22个3°投影带即24∽45带。

平面直角坐标系

设想一个平面卷成横圆柱套在地球外,如图1-5(a)所示。通过高斯投影,将中央子午线的投影作为

纵坐标轴,用x表示,将赤道的投影作横坐标轴,用y表示,两轴的交点作为坐标原点,由此构成的平面直角坐标系称为高斯平面直角坐标系,如图1-5(b) 所示。每一个投影带都有一个独立的高斯平面直角坐标系,区分各带坐标系则利用相应投影带的带号。在每一个投影带内,y坐标值都有正有负,这对于计算和使用都不方便,为了使y坐标都为正值,故将纵坐标轴向西平移500㎞,并在y坐标前加上投影带的带号。6°带投影是从英国格林尼治子午线开始,自西向东,每隔经差6°分为一带,将地球分为60个带,其编号分别为1,2,3,…60。任意带的中央子午线经度为Lo,它与投影带号N的关系如下所示:

式中:N———6°带的带号

离中央子午线越远,长度变形越大,在要求较小的投影变形时,可采用3°投影带。3°带是在6°带的基础上划分的,如图所示。每3°为一带,从东经1°30′开始,共120带,其中央子午线在奇数带时与6°带的中央子午线重合,每带的中央子午线可用下面的工式计算:

式中:N′——3°带的带号。

为了避免y坐标出现负值,3°带的坐标原点同6°带一样,向西移动500㎞,并在y坐标前加3°带的带号。

特点

应当注意的是,高斯投影没有角度变形,但有长度变形和面积变形,离中央子午线越远,变形就越大。其主要特点有以下三点:

平面直角坐标系

(1)投影后中央子午线为直线,长度不变形,其余经线投影对称并且凹向于中央子午线,离中央子午线越远,变形越大。

(2)赤道的投影也为一直线,并与中央子午线正交,其余的经纬投影为凸向赤道的对称曲线。

(3)经纬投影后仍然保持相互垂直的关系,投影后有角度无变形。

应用

用直角坐标原理在投影面上确定地面点平面位置的坐标系:

与数学上的直角坐标系不同的是,它的横轴为Y轴,纵轴为X轴。在投影面上,由投影带中央经线的投影为调轴、赤道投影为横轴(Y轴)以及它们的交点为原点的直角坐标系称为国家坐标系,国家坐标系(national coordinate system)是各国为进行测绘和处理其成果,规定在全国范围内使用统一坐标框架的坐标系统,又称国家大地坐标系。国家大地坐标系是测制国家基本比例尺地图的基础。否则称为独立坐标系。

坐标方法的简单应用:

1.用坐标表示地理位置。

2.用坐标表示平移。

平面直角坐标系

在测量学中使用的平面直角坐标系统

rectangular plane coordinate system)包括高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系。

通常选择:高斯投影平面(在高斯投影时)或测区内平均水准面的切平面(在独立地区测量时)作为坐标平面;纵坐标轴为x轴,向上(向北)为正;横坐标轴为y轴,向右(向东)为正;角度(方位角)从x轴正向开始按顺时针方向量取,象限也按顺时针方向编号。

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